Grafici di Funzioni

// plotter interattivo · zoom · più funzioni · punti notevoli

f₁(x) — blu

f₂(x) — rosso (opzionale)

f₃(x) — verde (opzionale)

Griglia Zeri Derivata f₁

    Sintassi: x^2, x^3, sqrt(x), abs(x), sin(x), cos(x), tan(x), asin(x), acos(x), atan(x), ln(x), log(x), exp(x), PI, E

    Operatori: + − * / ^ ( )  ·  Costanti: pi, e  ·  Navigazione: scroll = zoom, trascina = sposta

Algebra

// equazioni di 2° grado · sistemi lineari · disequazioni · polinomi

Equazione di 2° Grado ▶

ax² + bx + c = 0

x = (−b ± √Δ) / 2a

Δ = b² − 4ac

Δ > 0 → 2 soluzioni reali distinte · Δ = 0 → 1 soluzione doppia · Δ < 0 → nessuna soluzione reale

x₁ + x₂ = −b/a x₁ · x₂ = c/a

Relazioni di Viète: la somma delle soluzioni è −b/a, il prodotto è c/a.

Calcolatore

a

b

c

Sistema Lineare 2×2 ▶

a₁x + b₁y = c₁

a₂x + b₂y = c₂

D = a₁b₂ − a₂b₁

x = (c₁b₂ − c₂b₁) / D

y = (a₁c₂ − a₂c₁) / D

Metodo di Cramer. Se D = 0 il sistema è indeterminato o impossibile.

Calcolatore (Cramer)

a₁

b₁

c₁

a₂

b₂

c₂

Prodotti Notevoli ▶

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a − b)² = a² − 2ab + b²

(a + b)(a − b) = a² − b²

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

Disequazioni di 2° Grado ▶

ax² + bx + c > 0

Si calcola Δ e si trovano le radici x₁, x₂ (se esistono). La parabola è positiva:

Se a > 0: esterna alle radici → x < x₁ oppure x > x₂
Se a < 0: interna alle radici → x₁ < x < x₂
Se Δ < 0: se a > 0 → sempre vera; se a < 0 → mai vera

Calcolatore

a

b

c

Segno

Binomio di Newton ▶

(a + b)ⁿ = Σ C(n,k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ

C(n,k) = n! / (k!(n−k)!)

C(n,k) = coefficiente binomiale · n! = fattoriale di n

Calcolatore coefficiente binomiale

n

k

Logaritmi ed Esponenziali

// proprietà dei logaritmi · equazioni esponenziali · cambio base

Proprietà dei Logaritmi ▶

logₐ(x · y) = logₐx + logₐy

logₐ(x / y) = logₐx − logₐy

logₐ(xⁿ) = n · logₐx

logₐa = 1 logₐ1 = 0

logₐx = log_b(x) / log_b(a)

Formula del cambio di base: per convertire logaritmi da una base all'altra.

ln x = logₑx (logaritmo naturale) · log x = log₁₀x (logaritmo decimale)

Calcolatore Logaritmi ▶

logₐx = y ⟺ aʸ = x

Calcolatore

Base a

Argomento x

Tipo

Esponenziali ▶

aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ

aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ

(aⁿ)ᵐ = aⁿ·ᵐ

(ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ

a⁰ = 1 a⁻¹ = 1/a

a¹ᐟ² = √a aⁿᐟᵐ = ᵐ√(aⁿ)

e = 2,71828... (numero di Nepero / Eulero)

Limiti

// limiti notevoli · forme indeterminate · confronto infiniti

Limiti Notevoli ▶

lim(x→0) sin(x)/x = 1

lim(x→0) (1 − cos x)/x² = 1/2

lim(x→0) tan(x)/x = 1

lim(x→0) (eˣ − 1)/x = 1

lim(x→0) ln(1+x)/x = 1

lim(x→0) (1+x)¹ᐟˣ = e

lim(x→∞) (1 + 1/x)ˣ = e

lim(x→0) (aˣ − 1)/x = ln a

lim(x→0) [(1+x)ᵅ − 1]/x = α

Forme Indeterminate ▶

Le forme indeterminate sono espressioni il cui limite non è determinabile direttamente:

0/0 ∞/∞ 0 · ∞ ∞ − ∞ 0⁰ ∞⁰ 1^∞

Gerarchia degli infiniti (per x → +∞):

log x ≪ xᵅ ≪ aˣ ≪ x! ≪ xˣ

I logaritmi crescono più lentamente dei polinomi, che crescono più lentamente degli esponenziali.

Calcolatore Limiti Polinomiali ▶

lim(x→∞) (aₙxⁿ + ...) / (bₘxᵐ + ...) = ?

Per rapporti di polinomi: confronta i gradi.

Rapporto di polinomi per x → ∞

Grado num. n

Coeff. aₙ

Grado den. m

Coeff. bₘ

Derivate

// regole di derivazione · derivate fondamentali · studio di funzione

Regole di Derivazione ▶

D[c] = 0

D[c · f(x)] = c · f'(x)

D[f ± g] = f' ± g'

D[f · g] = f'g + fg'

D[f/g] = (f'g − fg') / g²

D[f(g(x))] = f'(g(x)) · g'(x)

L'ultima è la regola della catena (chain rule), fondamentale per le funzioni composte.

Derivate Fondamentali ▶

D[xⁿ] = n · xⁿ⁻¹

D[eˣ] = eˣ

D[aˣ] = aˣ · ln a

D[ln x] = 1/x

D[logₐx] = 1/(x · ln a)

D[sin x] = cos x

D[cos x] = −sin x

D[tan x] = 1/cos²x = 1 + tan²x

D[√x] = 1/(2√x)

D[arcsin x] = 1/√(1−x²)

D[arccos x] = −1/√(1−x²)

D[arctan x] = 1/(1+x²)

Retta Tangente ▶

y = f(x₀) + f'(x₀)(x − x₀)

x₀ = punto di tangenza · f'(x₀) = pendenza della retta tangente

Retta tangente a f(x) = ax²+bx+c

a

b

c

x₀

Studio di Funzione (Schema) ▶

1. Dominio
2. Intersezioni con gli assi (f(0), f(x)=0)
3. Segno della funzione (f(x) > 0)
4. Limiti agli estremi del dominio (asintoti)
5. Derivata prima → crescenza/decrescenza, massimi e minimi
6. Derivata seconda → concavità, flessi
7. Grafico

f'(x) > 0 → crescente · f'(x) < 0 → decrescente
f''(x) > 0 → concava verso l'alto ∪ · f''(x) < 0 → concava verso il basso ∩

Integrali

// integrali immediati · per parti · sostituzione · definito

Integrali Fondamentali ▶

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1)

∫ 1/x dx = ln|x| + C

∫ eˣ dx = eˣ + C

∫ aˣ dx = aˣ/ln a + C

∫ sin x dx = −cos x + C

∫ cos x dx = sin x + C

∫ 1/cos²x dx = tan x + C

∫ 1/√(1−x²) dx = arcsin x + C

∫ 1/(1+x²) dx = arctan x + C

Integrazione per Parti ▶

∫ f · g' dx = f · g − ∫ f' · g dx

Regola LIATE per scegliere f (nell'ordine): Logaritmica, Inversa trig., Algebrica, Trigonometrica, Esponenziale.

Integrale Definito ▶

∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a)

Teorema fondamentale del calcolo: l'integrale definito è la differenza della primitiva calcolata negli estremi.

F(x) = primitiva di f(x) · a, b = estremi di integrazione

Integrale definito di ax²+bx+c

a

b

c

Da (a)

A (b)

Successioni e Serie

// progressioni aritmetiche · geometriche · serie notevoli

Progressione Aritmetica ▶

aₙ = a₁ + (n−1) · d

Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2

a₁ = primo termine · d = ragione (differenza costante) · Sₙ = somma dei primi n termini

Calcolatore

a₁

d (ragione)

n (termini)

Progressione Geometrica ▶

aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹

Sₙ = a₁(qⁿ − 1) / (q − 1)

S∞ = a₁ / (1 − q) (|q| < 1)

q = ragione (rapporto costante) · S∞ = somma della serie geometrica convergente

Calcolatore

a₁

q (ragione)

n (termini)

Probabilità e Statistica

// combinatoria · probabilità · media · varianza · deviazione standard

Calcolo Combinatorio ▶

Permutazioni: Pₙ = n!

Disposizioni: D(n,k) = n!/(n−k)!

Combinazioni: C(n,k) = n!/(k!(n−k)!)

Pₙ = modi di ordinare n oggetti · D(n,k) = scelte ordinate di k da n · C(n,k) = scelte non ordinate

Calcolatore

n

k

Tipo

Probabilità ▶

P(A) = casi favorevoli / casi possibili

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A)

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

Indipendenti: P(A ∩ B) = P(A) · P(B) · Complementare: P(Ā) = 1 − P(A)

Bayes: P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B)

Statistica Descrittiva ▶

μ = Σxᵢ / n

σ² = Σ(xᵢ − μ)² / n

σ = √σ²

μ = media · σ² = varianza · σ = deviazione standard

Calcolatore (valori separati da virgola)

Dati

Fattoriale ▶

n! = n · (n−1) · ... · 2 · 1

0! = 1

Calcolatore fattoriale

n

Formula	Descrizione
x = (−b ± √Δ) / 2a	Eq. di 2° grado Δ = b² − 4ac
x₁+x₂ = −b/a · x₁·x₂ = c/a	Relazioni di Viète
(a±b)² = a² ± 2ab + b²	Quadrato di binomio
(a+b)(a−b) = a² − b²	Differenza di quadrati
(a±b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³	Cubo di binomio
C(n,k) = n! / (k!(n−k)!)	Coefficiente binomiale

Formula	Descrizione
logₐ(xy) = logₐx + logₐy	Prodotto
logₐ(x/y) = logₐx − logₐy	Quoziente
logₐ(xⁿ) = n·logₐx	Potenza
logₐx = logᵦx / logᵦa	Cambio di base
aⁿ·aᵐ = aⁿ⁺ᵐ	Prodotto di potenze
(aⁿ)ᵐ = aⁿ·ᵐ	Potenza di potenza

Formula	Valore
lim sin(x)/x per x→0	1
lim (1−cos x)/x² per x→0	1/2
lim (eˣ−1)/x per x→0	1
lim ln(1+x)/x per x→0	1
lim (1+1/x)ˣ per x→∞	e
lim (aˣ−1)/x per x→0	ln a

Formula	Regola
D[f·g] = f'g + fg'	Prodotto
D[f/g] = (f'g−fg')/g²	Quoziente
D[f(g(x))] = f'(g)·g'	Catena (composizione)

Integrale	Risultato
∫xⁿ dx	xⁿ⁺¹/(n+1) + C
∫1/x dx	ln\|x\| + C
∫eˣ dx	eˣ + C
∫sin x dx	−cos x + C
∫cos x dx	sin x + C
∫1/(1+x²) dx	arctan x + C
∫f·g' dx	f·g − ∫f'·g dx (parti)

f(x)	f'(x)
xⁿ	n·xⁿ⁻¹
eˣ	eˣ
aˣ	aˣ ln a
ln x	1/x
sin x	cos x
cos x	−sin x
tan x	1/cos²x
√x	1/(2√x)
arctan x	1/(1+x²)

Formula	Descrizione
aₙ = a₁+(n−1)d · S=n(a₁+aₙ)/2	Progressione aritmetica
aₙ = a₁·qⁿ⁻¹ · S=a₁(qⁿ−1)/(q−1)	Progressione geometrica
S∞ = a₁/(1−q) (\|q\|<1)	Serie geometrica convergente

Formula	Descrizione
P(A) = favorevoli / possibili	Probabilità classica
P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)	Unione
P(A\|B) = P(A∩B)/P(B)	Probabilità condizionata
Pₙ = n! · D(n,k) = n!/(n−k)!	Permutazioni e disposizioni
C(n,k) = n!/(k!(n−k)!)	Combinazioni
μ = Σx/n · σ² = Σ(x−μ)²/n	Media e varianza