Figure Piane
// triangolo · rettangolo · cerchio · trapezio · poligoni regolari
Triangolo▶
A = (1/2) · b · h
A = (1/2) · a · b · sin(γ)
p = a + b + c
A = area · b = base · h = altezza · a,b,c = lati · γ = angolo compreso
Calcolatore
Rettangolo▶
A = b · h
p = 2(b + h)
d = √(b² + h²)
d = diagonale
Calcolatore
Quadrato▶
A = l²
p = 4l
d = l√2
Calcolatore
Cerchio▶
A = πr²
C = 2πr = πd
A_settore = (1/2)r²α
r = raggio · d = diametro · C = circonferenza · α = angolo in radianti
Calcolatore
Trapezio▶
A = (1/2)(B + b) · h
B = base maggiore · b = base minore · h = altezza
Calcolatore
Poligono Regolare▶
A = (1/2) · p · a
p = n · l
a = l / (2 · tan(π/n))
n = numero lati · l = lato · a = apotema · p = perimetro
Calcolatore
Teoremi Fondamentali
// Pitagora · Euclide · Talete · seni · coseni
Teorema di Pitagora▶
c² = a² + b²
a = √(c² − b²)
c = ipotenusa · a, b = cateti
Vale solo per triangoli rettangoli. L'ipotenusa è il lato opposto all'angolo retto.
Calcolatore
Teoremi di Euclide▶
I: c₁ · c₂ = i · h
II: cₙ² = pₙ · i
c₁,c₂ = cateti · i = ipotenusa · h = altezza relativa all'ipotenusa · pₙ = proiezione del cateto sull'ipotenusa
I Euclide: in un triangolo rettangolo il prodotto dei cateti è uguale all'ipotenusa per l'altezza. II Euclide: il quadrato di un cateto è uguale al prodotto della sua proiezione per l'ipotenusa.
Teorema dei Seni▶
a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R
a,b,c = lati · α,β,γ = angoli opposti · R = raggio circumscritta
Calcolatore
Teorema dei Coseni (Carnot)▶
c² = a² + b² − 2ab · cos γ
Generalizzazione di Pitagora (se γ = 90° → cos 90° = 0 → Pitagora)
Calcolatore
Trigonometria
// sin · cos · tan · valori notevoli · formule
Definizioni e Valori Notevoli▶
sin α = opposto / ipotenusa
cos α = adiacente / ipotenusa
tan α = opposto / adiacente = sin α / cos α
sin²α + cos²α = 1
Valori notevoli:
sin 0° = 0 · cos 0° = 1 · tan 0° = 0
sin 30° = (1/2) · cos 30° = √3/2 · tan 30° = √3/3
sin 45° = √2/2 · cos 45° = √2/2 · tan 45° = 1
sin 60° = √3/2 · cos 60° = (1/2) · tan 60° = √3
sin 90° = 1 · cos 90° = 0 · tan 90° = ∞
sin 0° = 0 · cos 0° = 1 · tan 0° = 0
sin 30° = (1/2) · cos 30° = √3/2 · tan 30° = √3/3
sin 45° = √2/2 · cos 45° = √2/2 · tan 45° = 1
sin 60° = √3/2 · cos 60° = (1/2) · tan 60° = √3
sin 90° = 1 · cos 90° = 0 · tan 90° = ∞
Calcolatore
Formule di Addizione e Duplicazione▶
sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ
cos(α ± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ
tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα tanβ)
sin 2α = 2 sinα cosα
cos 2α = cos²α − sin²α
tan 2α = 2tanα / (1 − tan²α)
sin²α = (1 − cos 2α) / 2
cos²α = (1 + cos 2α) / 2
Geometria Solida
// cubo · parallelepipedo · cilindro · cono · sfera · piramide
Cubo▶
V = l³
S_tot = 6l²
d = l√3
Calcolatore
Parallelepipedo Rettangolo▶
V = a · b · c
S_tot = 2(ab + bc + ac)
d = √(a² + b² + c²)
Calcolatore
Cilindro▶
V = πr²h
S_lat = 2πrh
S_tot = 2πr(r + h)
Calcolatore
Cono▶
V = (1/3)πr²h
S_lat = πra (a = apotema)
a = √(r² + h²)
S_tot = πr(r + a)
Calcolatore
Sfera▶
V = 4/3 · πr³
S = 4πr²
Calcolatore
Piramide▶
V = (1/3) · A_base · h
S_lat = (1/2) · p_base · apotema
Vale per qualsiasi piramide. Per piramide retta regolare: apotema = √(h² + a²base)
Calcolatore
Geometria Analitica
// retta · parabola · circonferenza · ellisse · iperbole
Retta▶
y = mx + q
m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)
m = coefficiente angolare · q = intercetta · d = distanza punto-retta
Rette parallele: m₁ = m₂. Rette perpendicolari: m₁ · m₂ = −1.
Calcolatore
Parabola▶
y = ax² + bx + c
Vertice: V(-b/2a, -Δ/4a)
Δ = b² − 4ac
x = (-b ± √Δ) / 2a
Δ > 0 → 2 intersezioni con asse x · Δ = 0 → tangente · Δ < 0 → nessuna intersezione · a > 0 → concavità verso l'alto
Calcolatore
Circonferenza▶
(x − a)² + (y − b)² = r²
x² + y² + αx + βy + γ = 0
C(a,b) = centro · r = raggio · a = −α/2 · b = −β/2 · r = √(a² + b² − γ)
Calcolatore
Ellisse e Iperbole▶
Ellisse: x²/a² + y²/b² = 1
c² = a² − b² (a > b)
Iperbole: x²/a² − y²/b² = 1
c² = a² + b²
a, b = semiassi · c = semidistanza focale · e = c/a = eccentricità
Ellisse: e < 1. Iperbole: e > 1. Asintoti iperbole: y = ±(b/a)x.
Calcolatore